前言
很多人應(yīng)該都聽(tīng)說(shuō)過(guò)PID，它的運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)單，并能在大多情況下實(shí)現(xiàn)較好的控制效果，因此它是工程實(shí)踐中使用最廣泛的控制方法之一。
拋開(kāi)公式，我將帶你從案例出發(fā)，詳細(xì)了解PID的工作原理和使用方法。
注：閱讀本文不需要有過(guò)多的基礎(chǔ)知識(shí)，只需中學(xué)物理和數(shù)學(xué)知識(shí)就能看懂（當(dāng)然如果有高等數(shù)學(xué)知識(shí)和單片機(jī)知識(shí)的話理解起來(lái)會(huì)更容易）
仿真調(diào)參環(huán)境
我專門為本文搭了一個(gè)在線仿真環(huán)境，下面使用的案例都來(lái)自這個(gè)環(huán)境，讀者可以搭配使用
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案例引入——小球位置控制
任務(wù)介紹
我們假設(shè)有一個(gè)一維的坐標(biāo)軸（向右為正方向），在上面上有一個(gè)小球（可以看作質(zhì)點(diǎn)），小球不受任何阻力，可以自由左右滑動(dòng)；另外，我們還為小球規(guī)定了一個(gè)目標(biāo)位置（圖中的綠色標(biāo)線）：
現(xiàn)在我們有下述任務(wù)：
- 目標(biāo)：在小球上施加一個(gè)水平方向的力（稱為控制力），使小球在偏離目標(biāo)位置時(shí)回到目標(biāo)位置
- 已知條件：小球的實(shí)時(shí)坐標(biāo)、目標(biāo)位置坐標(biāo)
看到這里的你可以停下來(lái)想一想，應(yīng)該用什么樣的策略來(lái)計(jì)算這個(gè)力呢？
這里大多數(shù)人應(yīng)該都能想出這樣的方法：
“當(dāng)小球在目標(biāo)左邊的時(shí)候向右施力，當(dāng)小球在目標(biāo)右邊的時(shí)候向左施力，就可以保證小球一直在目標(biāo)位置上了”
思路是非常正確的，但這個(gè)策略仍不夠完善。由于小球存在慣性，我們施加的力將小球拉回目標(biāo)位置后小球還會(huì)具有一定的速度繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，并不會(huì)直接停在目標(biāo)位置。
用PID完成任務(wù)
接下來(lái)我們來(lái)看看如果使用PID，我們應(yīng)該如何計(jì)算出這個(gè)控制力呢？
誤差計(jì)算
計(jì)算PID的第一步就是計(jì)算誤差（Error）：誤差=目標(biāo)值-反饋值。在這個(gè)例子中，目標(biāo)值是目標(biāo)位置坐標(biāo)，反饋值是小球?qū)崟r(shí)位置坐標(biāo)，那么誤差就是小球當(dāng)前位置與目標(biāo)間的距離。
接下來(lái)的運(yùn)算我們都會(huì)圍繞誤差進(jìn)行，分為三個(gè)步驟使用誤差分別算出一個(gè)分力，并將三個(gè)分力一起施加在小球上。
比例環(huán)節(jié)
第一個(gè)環(huán)節(jié)是比例環(huán)節(jié)P(Proportion)，這個(gè)環(huán)節(jié)產(chǎn)生的分力是
即：分力大小與誤差成正比，且當(dāng)小球在目標(biāo)左邊的時(shí)候分力向右，當(dāng)小球在目標(biāo)右邊的時(shí)候分力向左，其中kp是比例系數(shù)。
比例環(huán)節(jié)的計(jì)算方法其實(shí)與上面大家通過(guò)直覺(jué)得出的方法差不多，如果只有這個(gè)分力作用的話，會(huì)產(chǎn)生什么效果呢？
大家可能會(huì)發(fā)現(xiàn)，這就與中學(xué)物理里的彈簧滑塊模型是一樣的，力與距離成正比，顯然小球會(huì)以目標(biāo)位置為中心進(jìn)行左右擺動(dòng)（簡(jiǎn)諧振動(dòng)）（注：圖中藍(lán)色短線表示控制力）：
只有比例環(huán)節(jié)時(shí)的小球運(yùn)動(dòng)
微分環(huán)節(jié)
那么如何讓小球能夠靜止在目標(biāo)點(diǎn)呢？這就要請(qǐng)出PID的另一個(gè)環(huán)節(jié)：微分環(huán)節(jié)D(Differential)。
微分環(huán)節(jié)也會(huì)計(jì)算出一個(gè)分力，計(jì)算方法是：
也就是說(shuō)，這個(gè)分力與誤差的變化速度有關(guān)。假設(shè)目標(biāo)位置不變，小球向右運(yùn)動(dòng)時(shí)誤差減小，即誤差變化速度為負(fù)，分力向左；反之當(dāng)小球向左運(yùn)動(dòng)時(shí)分力向右；綜合看來(lái)，微分環(huán)節(jié)產(chǎn)生的分力始終阻礙小球的運(yùn)動(dòng)。
因此如果在剛剛的基礎(chǔ)上加入微分產(chǎn)生的分力，就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)阻尼效果，小球會(huì)仿佛始終受到一個(gè)阻力，因此左右擺動(dòng)的幅度會(huì)逐漸減小，最終收斂到目標(biāo)位置上：
有比例和微分環(huán)節(jié)時(shí)的小球運(yùn)動(dòng)
由公式還可以看出，微分系數(shù)Kd可以影響這個(gè)“阻力”的大小，因此如果我們把系數(shù)調(diào)大一些，就可以讓小球的運(yùn)動(dòng)收斂得更快一些：
調(diào)大kd后的小球運(yùn)動(dòng)
到這里，其實(shí)我們已經(jīng)完成我們的目標(biāo)任務(wù)了，小球可以在驅(qū)動(dòng)力的作用下運(yùn)動(dòng)到目標(biāo)位置。
積分環(huán)節(jié)
但現(xiàn)在，我們更希望在小球有一些外部干擾時(shí)也能實(shí)現(xiàn)上面的效果，比如我們?cè)谛∏蛏霞由弦粋€(gè)水平向右的恒力，此時(shí)會(huì)發(fā)生什么呢？
恒力干擾下小球靜止?fàn)顟B(tài)
小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中仍然會(huì)像之前一樣接近目標(biāo)點(diǎn)，但在最終停下來(lái)時(shí)我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，小球無(wú)法精確停在目標(biāo)點(diǎn)上，而是像上圖一樣停在離目標(biāo)點(diǎn)有一定距離的地方。此時(shí)控制力與干擾恒力平衡，小球靜止。
稍加分析我們就能發(fā)現(xiàn)，此時(shí)小球靜止，微分環(huán)節(jié)產(chǎn)生的分力為零，控制力完全由比例環(huán)節(jié)產(chǎn)生，且若距離更小則比例環(huán)節(jié)的輸出更小，更無(wú)法平衡干擾力，因此小球無(wú)法繼續(xù)向目標(biāo)點(diǎn)接近。
此時(shí)就需要我們的第三個(gè)環(huán)節(jié)出場(chǎng)了：積分環(huán)節(jié)I(Integral)，它的計(jì)算方法是:
也就是說(shuō)積分環(huán)節(jié)產(chǎn)生的分力正比于誤差的積分，當(dāng)誤差持續(xù)存在時(shí)，這個(gè)分力會(huì)逐漸變大，試圖消除誤差。
加入積分作用，我們的PID就能完美實(shí)現(xiàn)在有恒力干擾的情況下對(duì)小球的控制了：
PID作用下小球控制效果
拋開(kāi)案例——更專業(yè)地理解PID
常用術(shù)語(yǔ)
- 被控對(duì)象：需要控制的對(duì)象，案例中指小球
- 目標(biāo)值：期望被控對(duì)象達(dá)到的狀態(tài)量，案例中指目標(biāo)位置的坐標(biāo)
- 反饋值：被控對(duì)象當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)量，案例中指小球的實(shí)時(shí)位置坐標(biāo)
- 輸出量：PID的計(jì)算結(jié)果，案例中指控制力
- 誤差：目標(biāo)值-反饋值
- 穩(wěn)態(tài)誤差：系統(tǒng)穩(wěn)定狀態(tài)下仍存在的誤差，如案例中加入干擾恒力后小球靜止時(shí)仍存在的誤差
不同參數(shù)下系統(tǒng)的階躍響應(yīng)（源：百度百科）
- 階躍輸入：在穩(wěn)定狀態(tài)下目標(biāo)值發(fā)生突然變化（上圖目標(biāo)值在0時(shí)刻由0躍升到虛線位置）
- 階躍響應(yīng)：階躍輸入后被控對(duì)象的跟隨狀態(tài)，能夠代表系統(tǒng)的控制性能（上圖彩色線條）
- 響應(yīng)速度：階躍輸入后被控對(duì)象再次到達(dá)目標(biāo)值的速度
- 超調(diào)量：階躍輸入后，被控對(duì)象到達(dá)目標(biāo)值后超出目標(biāo)值的距離（上圖各彩色線條第一個(gè)峰值與目標(biāo)值的距離）
PID計(jì)算過(guò)程
PID信號(hào)框圖
上圖就是PID的信號(hào)框圖，表示了PID的運(yùn)行過(guò)程：
-
為系統(tǒng)指定一個(gè)目標(biāo)值；
-
PID將目標(biāo)值與被控對(duì)象當(dāng)前的反饋量作差得到誤差；
-
PID將誤差值分別經(jīng)過(guò)三個(gè)環(huán)節(jié)計(jì)算得到輸出分量，三個(gè)分量加起來(lái)得到PID的輸出；
-
將PID的輸出施加到被控對(duì)象上，使反饋量向目標(biāo)值靠攏。
PID三個(gè)環(huán)節(jié)的作用
由控制小球案例我們可以總結(jié)出PID三個(gè)環(huán)節(jié)各自的主要作用和效應(yīng)：
- 比例環(huán)節(jié)：起主要控制作用，使反饋量向目標(biāo)值靠攏，但可能導(dǎo)致振蕩
- 積分環(huán)節(jié)：消除穩(wěn)態(tài)誤差，但會(huì)增加超調(diào)量
- 微分環(huán)節(jié)：產(chǎn)生阻尼效果，抑制振蕩和超調(diào)，但會(huì)降低響應(yīng)速度
PID中物理量的設(shè)計(jì)
我們?cè)谠O(shè)計(jì)PID時(shí)主要關(guān)注三個(gè)量：目標(biāo)值、反饋值、輸出值，PID會(huì)根據(jù)目標(biāo)值和反饋值計(jì)算輸出值。
需要強(qiáng)調(diào)的是，PID并不知道被控對(duì)象是什么，它僅負(fù)責(zé)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，而我們——作為控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)者，就需要為PID指定這三個(gè)量所對(duì)應(yīng)的實(shí)際物理量，這在不同的控制系統(tǒng)中是不一樣的。
那么如何確定實(shí)際物理量呢，我為大家總結(jié)了一個(gè)常用準(zhǔn)則。
- 目標(biāo)值和反饋值通常為同種物理量，就是你需要控制的物理量
- 輸出值通常是直接驅(qū)動(dòng)被控對(duì)象的控制量
- 輸出量作用在被控對(duì)象上需要經(jīng)過(guò)時(shí)間積累才會(huì)產(chǎn)生反饋量的變化，換言之輸出值通常為反饋值對(duì)于時(shí)間的低階物理量。比如：目標(biāo)值和反饋值為位置，則輸出值可以為速度或加速度
- 對(duì)于線性關(guān)系的兩個(gè)物理量（只差一個(gè)系數(shù)），可以直接替換。比如：目標(biāo)和反饋值為小球位置，根據(jù)上一條準(zhǔn)則，輸出值可以為加速度。但我們無(wú)法直接控制加速度，只能控制驅(qū)動(dòng)力大小，由于驅(qū)動(dòng)力與加速度只差一個(gè)系數(shù)（F=ma），因此可以將輸出值直接定為驅(qū)動(dòng)力
接下來(lái)給出幾個(gè)例子：
任務(wù)一：對(duì)小球進(jìn)行速度控制
可用條件：已知小球的實(shí)時(shí)速度，并且可施加一個(gè)力來(lái)改變小球的速度
PID目標(biāo)值：需要小球達(dá)到的速度
PID反饋值：小球的實(shí)時(shí)速度
PID輸出值：施加在小球上的力
分析：小球加速度是小球速度的低階物理量，而施加的力正比于小球加速度
任務(wù)二：對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)速進(jìn)行控制
可用條件：已知電機(jī)的實(shí)時(shí)轉(zhuǎn)速，并且可控制電機(jī)中流過(guò)的電流大小
PID目標(biāo)值：需要電機(jī)達(dá)到的轉(zhuǎn)速
PID反饋值：電機(jī)的實(shí)時(shí)轉(zhuǎn)速
PID輸出值：電機(jī)中流過(guò)的電流大小
分析：電機(jī)中流過(guò)的電流大小近似正比于電機(jī)的扭矩，也就近似正比于電機(jī)角加速度的大小，是轉(zhuǎn)速的低階物理量，因此可以用電流大小作為輸出值
任務(wù)三：液位高度控制
描述：容器有進(jìn)水口和出水口，需要通過(guò)進(jìn)水口的閥門控制容器內(nèi)液位的高度
可用條件：容器內(nèi)液位實(shí)時(shí)高度，可控制進(jìn)水口閥門液體流速
PID目標(biāo)值：需要達(dá)到的液位高度
PID反饋值：液位實(shí)時(shí)高度
PID輸出值：閥門液體流速
分析：閥門液體流速正比于液位高度的變化速度，是液位高度的低階物理量
由虛到實(shí)——代碼編寫(xiě)
程序流程
根據(jù)上面的步驟，我們其實(shí)很容易就能得出程序的執(zhí)行流程了，就是在計(jì)算誤差后逐個(gè)進(jìn)行PID各環(huán)節(jié)的計(jì)算。要注意的是整個(gè)采樣-計(jì)算-輸出的流程需要定時(shí)執(zhí)行，可以在每次流程運(yùn)行完后延時(shí)一段固定的時(shí)間（一般而言計(jì)算頻率不高于傳感器反饋頻率，但也不能太低，否則會(huì)使控制精度下降）。
代碼流程圖
實(shí)現(xiàn)細(xì)節(jié)
有一個(gè)問(wèn)題沒(méi)有解決，積分和微分應(yīng)該怎么算呢？畢竟微積分都是連續(xù)的，而我們采樣得到的是離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)。其實(shí)也很簡(jiǎn)單，離散狀態(tài)下的積分計(jì)算其實(shí)就是把過(guò)去采樣得到的所有誤差加在一起，而微分計(jì)算就是把這一輪計(jì)算得到的誤差與上一輪的誤差相減。
最后，我們一般還會(huì)對(duì)PID的積分和輸出進(jìn)行限幅（規(guī)定上下限），積分限幅可以減小積分引起的超調(diào)，輸出限幅可以保護(hù)執(zhí)行機(jī)構(gòu)或被控對(duì)象。
C語(yǔ)言代碼
//首先定義PID結(jié)構(gòu)體用于存放一個(gè)PID的數(shù)據(jù)
typedef struct
{
float kp, ki, kd; //三個(gè)系數(shù)
float error, lastError; //誤差、上次誤差
float integral, maxIntegral; //積分、積分限幅
float output, maxOutput; //輸出、輸出限幅
}PID;
//用于初始化pid參數(shù)的函數(shù)
void PID_Init(PID *pid, float p, float i, float d, float maxI, float maxOut)
{
pid->kp = p;
pid->ki = i;
pid->kd = d;
pid->maxIntegral = maxI;
pid->maxOutput = maxOut;
}
//進(jìn)行一次pid計(jì)算
//參數(shù)為(pid結(jié)構(gòu)體,目標(biāo)值,反饋值)，計(jì)算結(jié)果放在pid結(jié)構(gòu)體的output成員中
void PID_Calc(PID *pid, float reference, float feedback)
{
//更新數(shù)據(jù)
pid->lastError = pid->error; //將舊error存起來(lái)
pid->error = reference - feedback; //計(jì)算新error
//計(jì)算微分
float dout = (pid->error - pid->lastError) * pid->kd;
//計(jì)算比例
float pout = pid->error * pid->kp;
//計(jì)算積分
pid->integral += pid->error * pid->ki;
//積分限幅
if(pid->integral > pid->maxIntegral) pid->integral = pid->maxIntegral;
else if(pid->integral < -pid->maxIntegral) pid->integral = -pid->maxIntegral;
//計(jì)算輸出
pid->output = pout+dout + pid->integral;
//輸出限幅
if(pid->output > pid->maxOutput) pid->output = pid->maxOutput;
else if(pid->output < -pid->maxOutput) pid->output = -pid->maxOutput;
}
PID mypid = {0}; //創(chuàng)建一個(gè)PID結(jié)構(gòu)體變量
int main()
{
//...這里有些其他初始化代碼
PID_Init(&mypid, 10, 1, 5, 800, 1000); //初始化PID參數(shù)
while(1)//進(jìn)入循環(huán)運(yùn)行
{
float feedbackValue = ...; //這里獲取到被控對(duì)象的反饋值
float targetValue = ...; //這里獲取到目標(biāo)值
PID_Calc(&mypid, targetValue, feedbackValue); //進(jìn)行PID計(jì)算，結(jié)果在output成員變量中
設(shè)定執(zhí)行器輸出大小(mypid.output);
delay(10); //等待一定時(shí)間再開(kāi)始下一次循環(huán)
}
}最后一步——PID參數(shù)調(diào)整
在完成控制器代碼編寫(xiě)后，就要連接好系統(tǒng)進(jìn)行調(diào)參了，我們需要確定最合適的KpKiKd使控制效果最優(yōu)。
通常還是使用經(jīng)驗(yàn)法調(diào)參，通俗而言就是“試參數(shù)”，測(cè)試多個(gè)參數(shù)選取最好的控制效果，一般的步驟如下：
-
先將所有參數(shù)置零
-
將輸出限幅設(shè)為執(zhí)行機(jī)構(gòu)能接受的最大值
-
增大p參數(shù)，使響應(yīng)速度達(dá)到比較好的水平
-
若存在穩(wěn)態(tài)誤差，逐漸增加i參數(shù)和積分限幅，使穩(wěn)態(tài)誤差消失
-
若希望減少超調(diào)或振蕩，逐漸增加d參數(shù)，在保證響應(yīng)速度的前提下盡可能降低超調(diào)
此時(shí)大家可以使用上述的小球仿真環(huán)境體驗(yàn)一下各參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響。到這里，我們就已經(jīng)能夠使用PID來(lái)控制各種對(duì)象了。
總結(jié)——使用PID的步驟
-
確定需要控制的對(duì)象，確定需要控制的物理量，確定反饋量的獲取方式，確定被控對(duì)象的控制方式；
-
檢查目標(biāo)值、反饋值、輸出值對(duì)應(yīng)物理量的關(guān)系是否符合上面說(shuō)的準(zhǔn)則；
-
編寫(xiě)代碼，將上述三個(gè)值的數(shù)值變量傳入PID進(jìn)行運(yùn)算，并將PID運(yùn)算結(jié)果輸出到執(zhí)行機(jī)構(gòu)；
-
進(jìn)行參數(shù)調(diào)整。