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PFC Boost電路設(shè)計中涉及的數(shù)學(xué)公式

【Simon】 4天前 167 閱讀 2 贊 5 收藏 0 評論

本文列舉的公式適用于TM/COT模式即電感電流都將降為零的控制模式# PFC BOOST電路常見計算公式

輸入交流電流

輸入電壓為一個正弦波，故其輸入電流也為一個正弦波，其數(shù)學(xué)表達式如下

$I_{in}=\sqrt{2}\times\frac{P_{inavg}}{V_{inRMS}}\times\sin(\omega*t)$

根據(jù)三角函數(shù)的特性，sin值為0-1范圍，故Iin

$0\leq I_{in}\leq\sqrt{2} \times \frac{P_{inavg}}{V_{inRMS}}$

BOOST電感電流

電感峰值電流

由于電源輸入端會有EMI電路，其中低通濾波器和BOOST升壓電感的作用，輸入交流電流是呈現(xiàn)準(zhǔn)三角波的電感電流的平均值，同時三角波的峰值是其平均值的2倍。

$I_{L_pk}=2\times I_{inavg}$

電感電流平均值

根據(jù)升壓變化器特性，其電感電流的平均值等于輸入電流的平均值

$I_{Lavg}=I_{in}=\sqrt{2}\times\frac{P_{inavg}}{V_{inRMS}}\times\sin(\omega*t)$

電感電流有效值

由于輸入電流為一個準(zhǔn)三角波，其有效值是平均值的 $2/\sqrt{3}$ 倍，其推導(dǎo)公式可以參考后面，故其有效值方程如下

$I_{Lrms(t)}=\sqrt{2}\times\frac{P_{inavg}}{V_{inRMS}}\times\sin(\omega*t) \times \frac{2}{\sqrt{3}}$

在一個周期內(nèi)對上述公式進行積分運算可得

$I_{Lrms}=\frac{P_{inavg}}{V_{inRMS}} \times \frac{2}{\sqrt{3}}$

準(zhǔn)三角波有效值與平均值比值推導(dǎo)有效值積分表達式

$Irms^{2}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} ({I(t)^{2}} \times dt$

進行對積分進行定積分計算后得

$\int_{0}^{T} ({I(t)^{2}} \times dt= \frac{(Ipeak)^{2}\times T }{3}$

故

$Irms^{2}= \frac{1}{T}\int_{0}^{T} ({I(t)^{2}} \times dt= \frac{(Ipeak)^{2}}{3}$

$I_{rms}= \frac{I_{peak}}{\sqrt{3}}$

由于

$I_{peak}=2\times I_{avg}$

兩式聯(lián)立得

$I_{rms}=2/\sqrt{3} I_{avg}$

PFC工作頻率

根據(jù)電感電流公式

$U=L\times\frac{I}{T}$

可以計算

開關(guān)管導(dǎo)通時間

$T_{on}=\frac{L\times I_{Lpk}}{V_{in}}$

開關(guān)管關(guān)閉時間

$T_{off}=\frac{L\times I_{Lpk}}{V_{out}-V_{in}}$

整個系統(tǒng)開關(guān)頻率可得

$f_{s}=\frac{1}{T_{on}+T_{off}}=\frac{V_{in}\times (V_{out}-V_{in})}{V_{out}\times L \times I_{pk}}$

$= \frac{ \sqrt{2}\times V_{inRMS}\times \sin (\omega \times t)\times (V_{out}-\sqrt{2} \times V_{inRMS} \times \sin(\omega\times t)) }{V_{out}\times L \times 2\times \sqrt{2}\times \frac{P_{inavg}}{V_{inRMS}}\times\sin(\omega\times t)}$

$f_{s}=\frac{V_{inRMS}^{2}}{2\times P_{inavg}\times L} \times (1- \frac{\sqrt{2} \times V_{inRMS} \times \sin (\omega \times t)}{V_{out}})$

從上述約分后的表達式中可以得出以下結(jié)論

1. 開關(guān)頻率與輸入功率和電感值的乘積呈現(xiàn)反比特性。

2. 在固定輸出電壓的情況下，最低頻率發(fā)生出現(xiàn)每個正弦波半周期的峰值，最高頻率出現(xiàn)在正弦波的最低值。

開關(guān)頻率上下限

由于人耳可以聽到的頻率范圍在20KHz內(nèi)故，變壓器在265Vac輸入時最低頻率應(yīng)保持在20KHz以上，一般設(shè)計時保留一定的余量，設(shè)置在30-40KHz范圍內(nèi)，另外由于EMI測試范圍點為150KHz,> 為了便于后續(xù)認(rèn)證測試，其最高頻率點因設(shè)置在150KHz內(nèi)，最好在75KHz

在數(shù)學(xué)表達式中我們可以得出其頻率最大點發(fā)生在最大輸入電壓時，而輸入電壓時其頻率最高，但由于其輸入范圍不是一個線性函數(shù)，而是正弦函數(shù)，故需要通過微分的方式進行計算：

故在電壓方向上對頻率進行微分

$\frac{\text{d}f_{s}}{\text{d}V_{inRMS}} = \frac{1}{2\times P_{inavg} \times L} \times (\sqrt{2} \times V_{inRMS}- \frac{3\sqrt{2}\times V_{inRMS}^{2}}{V_{out}})=0$

該方程式的根為

$1. V_{inRMS_1} = 0;$

$2. V_{inRMS_2} =\frac{2\times V_{out}}{3\times\sqrt{2}} \cong 0.47\times V_{out};$

將根2代入頻率公式可以得

$f_{max} = \frac{V_{out}^{2}}{27\times P_{inavg} \times L}$

開關(guān)管頻率平均值

由于PFC在工作時，其頻率是個變化值計算電感和頻率時取的使其極限值進行分析，但是考慮到MOS損耗與頻率有關(guān)，故需要對頻率的平均值有一定的了解從而為后續(xù)效率評估提供一定的參考值。所以對平均值進行基本計算

計算平均值需要對一個交流輸入電壓周期內(nèi)對頻率進行積分。根據(jù)之前推導(dǎo)出的頻率公式進行積分運算

$f_{savg} = \frac{\omega}{\pi}\times \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\frac{V_{inrms}^{2}}{2\times P_{inavg} \times L}\times (1-\frac{\ \sqrt{2}\times V_{inrms} \times \sin (\omega \times t) }{V_{out}}))dt$

得

$f_{savg} = \frac{V_{inrms}^{2}}{2\times P_{inavg} \times L} \times (1-\frac{2\times \sqrt{2}\times V_{inrms}}{\pi\times V_{out}})$

從上式可以看出電感感量與頻率成負(fù)相關(guān)，即電感越大頻率越小，開關(guān)管開通和關(guān)斷損耗小

MOS管電流

MOS管有效電流

計算MOS管有效電流可用MOS選型。同時可用于評估采樣電阻功耗

流過MOS管電流，電感電流和續(xù)流二極管的電流波形如下

當(dāng)MOS管導(dǎo)通時，流過MOS管的峰值電流和流過電感的峰值電流是相等的，但MOS管關(guān)斷時，電感電流由升壓電路中的續(xù)流二極管流入輸出電容和負(fù)載，而不流過MOS管，所以其波形為一個鋸齒波。另外開關(guān)管的占空比公式如下

$D=\frac{V_{out}-\sqrt{2}\times V_{inRMS}\times \sin(\omega\times t)}{V_{out}}$

鋸齒波的有效電流與峰值電流之比為 $\sqrt{\frac{D}{3}}$ ”推導(dǎo)過程在后面”

所以有效電流表達式如下

$I_{rms}=I_{pk}\times \sqrt{\frac{D}{3}} =\frac{2}{\sqrt{3}}\times \frac{P_{inavg}}{V_{inrms}}\times\sqrt{D} \times \sin(\omega \times t)$

將占空比公式代入計算得

$I_{rms}=\frac{2}{\sqrt{3}}\times \frac{P_{inavg}}{V_{inrms}}\times \sqrt{1-1.2\times\frac{V_{inRMS}}{V_{out}}}$

鋸齒波的有效電流與峰值電流之比的推導(dǎo)已知有效值為均方根值，故

$Irms^{2}= \frac{I_{1}^{2} + I_{2}^{2}+ .....I_{n}^{2}}{n}$

由于電流在不同時間具有不同的值對公式進行積分換算得

$Irms^{2}=\int_{0}^{Ton} (\frac{Ipeak}{Ton})^{2} \times dt \times \frac{1}{Ton+ Toff}$

對積分進行變換得

$Irms=Ipeak \times \sqrt{\frac{Dmax}{3}}$

續(xù)流二極管電流

由于輸出電容的直流電壓是恒定的，故輸入二極管電流等于負(fù)載電流。在一個開關(guān)周期內(nèi)流過二極管的平均電流數(shù)學(xué)表達式為

$I_{davg}(t)=\frac{P_{in}}{V_{out}}=\frac{V_{in}\times I_{in}}{V_{out}}$

$=\frac{\sqrt{2}\times V_{inrms}\times \sin(\omega\times t)\times\sqrt{2}\times I_{inrms}\times sin(\omega\times t)}{V_{out}}$

$=\frac{\ 2\times V_{inrms}\times I_{inrms}\times \sin(\omega\times t)^{2}}{V_{out}}$

對公式進行化解可得一個直流分量和交流分量

$I_{davg}(t)=I_{out}\times [1-\cos(2\omega\times t)]$

輸出紋波電壓

輸出紋波電壓由輸出電解電容和流過電解電容的交流電來決定的，流過電解電容的交流電流為流過二極管的電流和輸出負(fù)載電流之差。即紋波電流為平均電流中的交流分量

$I_{c(ripple)}=I_{out}\times \cos(2\omega t)$

輸出紋波電壓為

$V_{out(ripple)} = \frac{1}{C_{out}}\times\int_{}^{}I_{out}\times\cos(2\omega t)dt$

$=\frac{I_{out}}{2\times\omega\times C_{out}}\times\sin(2\omega t)$

$V_{out(p-p)}=\frac{I_{out}}{\omega \times C_{out}}$

電感磁芯計算

電感Ap法求磁芯尺寸

使用過Ve法計算過，計算得體積過大，不太適用，可能是由于TM模式頻率不斷變化且最小頻率比較大，所以其數(shù)學(xué)表達式計算結(jié)果偏大

因為導(dǎo)通時間隨輸入電壓平方成反比，因此應(yīng)當(dāng)在最低電壓下選擇磁芯尺寸，只要在最低輸入電壓峰值時避免飽和

$\sqrt{2}\times U_{imin}\times T_{on} = N\times A_{e} \times B_{m}$

又由于

$A_{w}= \frac{N \times I_{inmax}}{k_{w} \times j}$

兩式聯(lián)立

$A_{p}=A_{e} \times A_{w} =\frac{\sqrt{2} \times U_{imin} \times I_{imax} \times T_{on}}{B_{m} \times j \times k_{w}} = \frac{\sqrt{2} \times \eta \times P_{in} \times T_{on} }{B_{m} \times j \times 10^{-4} \times k_{w}}$

其中導(dǎo)線電流密度 j=400-600A/cm2, 式中 $10^{-4}$ 是對導(dǎo)線電流密度的單位換算窗口利用率 $k_{w}$ 一般為0.2-0.4 取0.2，Ton的單位為s 計算結(jié)果單位為 $cm^{4}$

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