在具體分析反饋電路模型之前，我們先來簡單探討一下一個基本知識——電路的傳遞函數(shù)。

什么叫做傳遞函數(shù)呢？通俗的來說，我們把一個系統(tǒng)看作一個黑箱子，黑箱具有輸入和輸出，而輸出和輸入會建立某種固定的關(guān)系，這個關(guān)系可以用一個函數(shù)來表達(dá)，這個函數(shù)可以稱之為傳遞函數(shù)。舉個最簡單的例子，比如用兩個相同的電阻串聯(lián)來分壓，我們可以知道分道的電壓為輸入電壓的0.5倍，而且不管輸入電壓怎么變，0.5的比值都不變。 其實(shí)這個0.5就是最簡單的傳遞函數(shù)，整個表達(dá)式可以寫作 輸出/輸入=0.5，但是實(shí)際中我們的電路不可能永遠(yuǎn)這么簡單，當(dāng)電路更加復(fù)雜的時候，我們就需要引入另外一個概念，就是頻域。

首先我們來看一個圖上的所畫的簡單的rc電路，對于這樣一個rc電容，我們?nèi)绾蝸碛嬎爿斎牒洼敵龅年P(guān)系呢？假設(shè)輸入是個直流信號，我們可以很簡單知道輸出是個同等大小的直流信號，那么如果輸入不是直流信號，那么輸出會是一個什么樣的信號？

雖然基本上所有的工程師都知道，這樣一個rc電路，其實(shí)就是個低通濾波器，它會衰減高頻信號，那么到底對什么樣的信號會衰減，會衰減多少，我們需要一個可以量化計算的方法，這里就需要用到頻域的概念，在頻域里面信號都是以正弦波的形式存在的，而正弦波除了有幅度，他還有頻率和相位這幾個參數(shù)，電路里面的元器件阻抗也要以負(fù)阻抗的形式存在。比如在頻域里面，電阻r還是用r來表達(dá)，但是電感l(wèi)的阻抗是用 s*l來表達(dá)電容c的阻抗， s乘以1/c來表達(dá)，其中 s=ωj，ω是指的角頻率，那么這個角頻率和我們熟悉的頻率之間的關(guān)系是ω=2πf， j就是表示的復(fù)數(shù)。

這樣一來我們可以知道，除了電阻，電感和電容的阻抗會隨著頻率變化，電感的阻抗會隨著頻率的增大而增大，而電容則相反。得到了這些元器件的復(fù)阻抗表達(dá)式之后，我們就可以利用基爾霍夫定理在頻域里面計算出簡單的rc電路的傳遞函數(shù)，那么我們得到這樣一個傳遞函數(shù) 輸出/輸入=1/（scr+1）。

其實(shí)這里的話就是一個以復(fù)數(shù)形式表達(dá)的傳遞函數(shù)，而對于復(fù)數(shù)來說，它是可以求模，那么膜在實(shí)際意義里面其實(shí)就是信號的增益，也就是輸出信號的有效值和輸入信號之間的比值是放大了還是縮小了？放大倍數(shù)又是多少？可以用增益來表達(dá)。那么復(fù)數(shù)還可以求角度，也就是我們實(shí)際情況意義里面的像，也就是輸出的信號的相位減去輸入信號的相位得到的相位差。總而言之，復(fù)數(shù)形式表達(dá)了傳遞函數(shù)，既可以準(zhǔn)確反映信號幅度的變化，也可以反映信號相位的變化。

那么在這里要注意的是 s這個符號，剛才講過s=ωj那么其中包含了一個變量，ω就是角頻率，也就是說當(dāng)信號的頻率變化的時候，s就是個變量，這個變量會導(dǎo)致傳遞函數(shù)的模和角度會隨著頻率的變化而變化。如果我們把幅值和頻率的關(guān)系圖描繪出來，就可以得到個增益曲線，把相位和頻率的關(guān)系圖描繪出來，可以得到一個相位曲線，那么這幾個曲線我們稱之為波特圖。

在這里我們留個思考題，假如說我們有一個兩級rc濾波器，那么這個濾波器的傳遞函函數(shù)會是怎么樣的？大家可以去推導(dǎo)一下。

在剛才我們已經(jīng)求出了rc濾波器的傳遞函數(shù)，但是這樣的傳遞函數(shù)表達(dá)了什么樣的物理意義？如果單從公式來看很難理解，但是如果我們把這個函數(shù)求模，求出來的模再做對數(shù)運(yùn)算，再乘以20，也就是說把它轉(zhuǎn)化成分貝，那么在以頻率為橫坐標(biāo)，分貝為縱坐標(biāo)就可以得到一個增益的波特圖，也就是左邊這個曲線。

那么我們看曲線可以得知增益會隨著頻率的增加逐漸降低，并且在f0這個頻率點(diǎn)降低了三個db，那么我們稱之為 f0頻率點(diǎn)為轉(zhuǎn)折頻率點(diǎn)。最后的話我們可以看到爭議會議20db10倍頻的斜率下降，對于這樣特性的函數(shù)，我們稱之為單極點(diǎn)特性，極點(diǎn)的位置就是轉(zhuǎn)折頻率點(diǎn)，就是我們剛才所說的f0。

那么如何計算這個f0的值，我們可以先把傳遞函數(shù)寫成標(biāo)準(zhǔn)模式，就是我們圖上所示的G（s）=1/（1+s/ω0），那么其中ω0就是極點(diǎn)的位置。如果我們把剛才rt濾波器的傳遞函數(shù)也寫成這樣的標(biāo)準(zhǔn)模式，那么就可以寫成 Vout/Vin= 1÷（1+ s）÷1/rc，那么這里也可以得到ω0=1/rc，那么轉(zhuǎn)化成f0，就是f0=2π 1/rc，也就是說其實(shí)rc濾波器表現(xiàn)出來就是單極點(diǎn)特性，而這個極點(diǎn)的位置在2π 1/rc。

對于增益圖，通常為了簡化分析，理論上可以用漸進(jìn)性，也就是圖中的折線來代替，折線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)就是轉(zhuǎn)折頻率點(diǎn)，采用折線來近似，非常適合早期沒有計算機(jī)的時代，可以大大簡化波特圖的分析和理解。但是現(xiàn)在計算機(jī)如此的發(fā)達(dá)，我還是建議大家利用計算機(jī)來匯出完整的增益曲線。

同時我們知道復(fù)數(shù)表達(dá)的函數(shù)，還有相位角度的問題，那么右圖就是單極點(diǎn)傳遞函數(shù)的相位曲線。

我們可以看到在轉(zhuǎn)折頻率點(diǎn)相位之后正好45度，但是相位其實(shí)從遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于轉(zhuǎn)折頻率的地方就開始滯后了，一直到無窮大頻率處，最后總共滯后90度。換個說法，就是一個單極點(diǎn)會帶來90度的相位之后，那么如果為了簡化分析，我們也可以做一個近似，通常就認(rèn)為在1/10轉(zhuǎn)折頻率點(diǎn)，相位就開始滯后，到轉(zhuǎn)折頻率點(diǎn)，正好滯后45度，再到10倍的轉(zhuǎn)折頻率點(diǎn)，認(rèn)為它已經(jīng)滯后了90度。就這樣我們把具有單極點(diǎn)特性的傳遞函數(shù)的波特圖描繪了出來。

從增益曲線上我們可以看到，增益在頻率接近0的地方為0db，也就是一這意味著在低頻段輸出接近輸入，但是隨著頻率的增加，增益開始下降，呈現(xiàn)出明顯小于一的特性，這就意味著信號被衰竭了，驗證了低通濾波器的特性。那么從相位曲線也可以看到，在低頻段相位滯后很少，但隨著頻率的增加，最終會滯后90度。那么這個就是整個低通濾波器表現(xiàn)出來的特性，我們也可以稱之為單指點(diǎn)特性。

除了表現(xiàn)為單極點(diǎn)特性的傳遞函數(shù)之外，我們再來看一下其他類型的傳遞函數(shù)工。比方說我們把這個單極點(diǎn)的傳遞函數(shù)做一個倒數(shù)運(yùn)算，就可以得到這樣一個表達(dá)式，就是G（s）=（1+s/ω0） 。如果我們把這個表達(dá)是求膜求相位，就可以把波特圖描繪出來。

可以看到如圖所示的兩個曲線。我們先看上面的增益曲線，從這個增益曲線可以看到增益從0db 開始，然后到接近f 0的地方開始上升，到f 0處上升了3個db，最后他會以20db每十倍頻的斜率上升。我們馬上就會意識到這個增益曲線其實(shí)和極點(diǎn)正好相反，那么我們稱之為零點(diǎn)，這個零點(diǎn)的位置就是f 0，如果以角頻率點(diǎn)表達(dá)，就是ω0。那么再看下面的相位曲線呢，可以近似的認(rèn)為從十分之一的轉(zhuǎn)折頻率開始超前，在零點(diǎn)的位置超前45度，到10倍轉(zhuǎn)折頻率處超前90度。

所以說零點(diǎn)的特性和極點(diǎn)是完全相反的。這就是我們?yōu)槭裁磿?jīng)常聽到說用一個零點(diǎn)去補(bǔ)償一個極點(diǎn)的說法。因為他們兩個是對偶的是互補(bǔ)的，是可以互相抵消的。

除了極點(diǎn)和零點(diǎn)，那么我們再來看另外一個表達(dá)式，G（s）=1-s/ω0 。那么和剛才那個零點(diǎn)的表達(dá)是不同的是，0點(diǎn)是1+s/ω0，這里是-s/ω0。

這個表達(dá)式呢就是表示了一個右半平面0點(diǎn)。這個右半平面零點(diǎn)在波特圖中的表現(xiàn)形式為增益隨著頻率上升，但是相位卻是隨著頻率滯后。也就是說它的增益曲線和零點(diǎn)相同，但是相位曲線卻和極點(diǎn)相同。

那么在什么樣的系統(tǒng)里會碰到右半平面零點(diǎn)呢，就在ccm 模式的boost ，或者Buck/Boost或者反激這些拓?fù)渲袝龅竭@個右半平面0點(diǎn)。

那么右半平面零點(diǎn)在電源系統(tǒng)中具體表現(xiàn)是什么呢？比如在boost 中，如果負(fù)載突然變重，輸出電壓下跌環(huán)路會加大占空比。但這個時候整流管的的占空比一減力就會相應(yīng)變小。

但此時電感電流卻沒有立即升起來，會導(dǎo)致不適的整流管輸出平均電流反而減小，從而進(jìn)一步加劇輸出電壓下跌。這就是右半平面零點(diǎn)的物理特性。理論上來說，右半平面0點(diǎn)可以用右半平面極點(diǎn)來補(bǔ)償。

但是事實(shí)上在我們的開關(guān)電源系統(tǒng)中，我們沒有辦法在補(bǔ)償電路中構(gòu)建這樣一個右半平面極點(diǎn)。所以這個右半平面零點(diǎn)我們根本沒有辦法補(bǔ)償。這也就意味著具有右半平面零點(diǎn)的拓?fù)湓诃h(huán)路上具有嚴(yán)重的局限性。

在了解了一些基礎(chǔ)傳遞函數(shù)的增益特性和相位特性之后，我們來看一下，如果把這些基礎(chǔ)函數(shù)乘起來，就可以得到更加復(fù)雜的傳遞函數(shù)。

如圖所示，我們可以把一個極點(diǎn)和一個零點(diǎn)的傳遞函數(shù)相乘，可以得到這么一個表達(dá)式。

A（s）=A0*（1+s/ω1）÷（1+s/ω2），這個表達(dá)式里面包含了一個極點(diǎn)和一個零點(diǎn)，A0是直流增益，ω1為一個零點(diǎn)，ω2為一個極點(diǎn)。

如果ω1=ω2，我們可以得到這個函數(shù)會變成極其簡單的比例函數(shù)，就是A（s）=A0。這種函數(shù)的增益曲線和相位曲線都會變成一條直線，也就是我們常說的零極點(diǎn)互相補(bǔ)償，互相抵消。

那么如果ω1≠ω2，假如ω1<ω2，我們就可以得到如圖所示的波特圖。

首先看上面的增益曲線，我們可以發(fā)現(xiàn)隨著頻率的增加，我們先碰到一個零點(diǎn)，ω1或者f1過了零點(diǎn)之后，爭議以20db每10倍頻的斜率上升，等到了ω2或者f2這個頻率點(diǎn)，我們又碰到了一個極點(diǎn)，增益就不再上升，后面的增益曲線就變平了。

那么再看一下下面的相位曲線，相位在十分之一ω1處開始超前，到10倍的ω1處超前了90度，在十分之一ω2處開始滯后，最終在10倍ω2處滯后的90度，這樣一個超前一個滯后，他們互相抵消就可以得到高頻處的相位和低頻處的相位是相同的。也就是說最后總共的相位超前或者滯后只有0度。

但是在這里我們要注意一下，這里有個前提假設(shè)，假設(shè)10倍的ω1要比十分之一的ω2還要小，如果10倍的ω1是要大于十分之一的ω2，我們就會發(fā)現(xiàn)中間拱起來的相位超前不會達(dá)到90度，因為它還沒有達(dá)到90度，就會被ω2這個極點(diǎn)影響，從而轉(zhuǎn)向開始下降。

所以大家可以想象一下，這種情況下，如果ω1和ω2開始靠近，增益曲線和相位曲線又會怎么變化呢？那么再當(dāng)ω2小于ω1的時候又會怎么樣？大家可以去思考一下。

除了上述所講的單極點(diǎn)、單零點(diǎn)以及零極點(diǎn)的組合之外，在開關(guān)電源系統(tǒng)里面，我們還會碰到更加復(fù)雜的傳遞函數(shù)，那就是復(fù)合雙極點(diǎn)。比如常見的lc濾波器的傳遞函數(shù)，就是一個典型的復(fù)合雙極點(diǎn)。復(fù)合雙極點(diǎn)和單純的兩個極點(diǎn)相乘不同，復(fù)合雙極點(diǎn)有時候是無法解析出三個節(jié)點(diǎn)來的，我們不能簡單的把它認(rèn)為是兩個極點(diǎn)的組合，必須統(tǒng)一起來分析。

復(fù)合雙極點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式為：

其中ω0為轉(zhuǎn)折頻率，Q為品質(zhì)因素，簡單的來講，雙極點(diǎn)的增益曲線表現(xiàn)為過了轉(zhuǎn)折頻率之后，以40db每10倍頻的斜率下降，這種斜率是單極點(diǎn)的兩倍。

但是復(fù)合雙極點(diǎn)還有一個特性，那就是Q值。當(dāng)Q值很大的時候，就是左圖最上面的曲線，表現(xiàn)為在轉(zhuǎn)折頻率點(diǎn)增益會變得很大。那么隨著Q值的降低，轉(zhuǎn)折頻率點(diǎn)的增益也逐漸降低，越往下面的曲線表現(xiàn)為Q值逐漸降低。 右邊是相位曲線，我們可以看到當(dāng)Q值大的時候，相位之后的非?？?，如同跳水一樣，在很窄的頻率范圍內(nèi)就可以實(shí)現(xiàn)180度的相位滯后，但是Q值低的時候緩和很多。

那么符合雙擊點(diǎn)到底能不能解析為兩個單極點(diǎn)的組合？其實(shí)當(dāng)Q小于等于0.5的時候，我們可以把復(fù)合雙極點(diǎn)解析為兩個單極點(diǎn)的組合。比方說當(dāng)Q=0.5的時候，我們可以把復(fù)合雙極點(diǎn)解析為兩個單極點(diǎn)，這個時候兩個單極點(diǎn)在同一個位置，就是ω0。事實(shí)上這種復(fù)合雙極點(diǎn)在我們開關(guān)電源系統(tǒng)里面是很常見的。

剛才我們講到復(fù)合雙極點(diǎn)是個比較復(fù)雜的表現(xiàn)形式，但是我們知道當(dāng)Q小于等于零0.5的時候，可以解析為兩個單極點(diǎn)組合。

剛才已經(jīng)講了，Q=0.5的時候，可以解救一對位置相同的極點(diǎn)。那么Q<0.5呢，在早期計算機(jī)不是很發(fā)達(dá)的時候，為了簡化理解，我們通常會做一些近似，那就是當(dāng)Q明顯小于0.5的時候，可以把這對復(fù)合雙極點(diǎn)分解為兩個單極點(diǎn)，一個為Q乘以ω0，另外一個有1/Q乘以ω0，這樣就很容易理解和計算。

當(dāng)然實(shí)際上現(xiàn)在隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，我們已經(jīng)很少在應(yīng)用的時候采用手動記賬，而是采用計算機(jī)軟件進(jìn)行計算，比如Mathcad的excel等工具就可以。所以這種近似的方法已經(jīng)不是那么重要了。但是對于學(xué)習(xí)的人來講，還是有一定的意義。