在具體分析反饋電路模型之前，我們先來(lái)簡(jiǎn)單探討一下一個(gè)基本知識(shí)——電路的傳遞函數(shù)。

什么叫做傳遞函數(shù)呢？通俗的來(lái)說(shuō)，我們把一個(gè)系統(tǒng)看作一個(gè)黑箱子，黑箱具有輸入和輸出，而輸出和輸入會(huì)建立某種固定的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系可以用一個(gè)函數(shù)來(lái)表達(dá)，這個(gè)函數(shù)可以稱之為傳遞函數(shù)。舉個(gè)最簡(jiǎn)單的例子，比如用兩個(gè)相同的電阻串聯(lián)來(lái)分壓，我們可以知道分道的電壓為輸入電壓的0.5倍，而且不管輸入電壓怎么變，0.5的比值都不變。 其實(shí)這個(gè)0.5就是最簡(jiǎn)單的傳遞函數(shù)，整個(gè)表達(dá)式可以寫作 輸出/輸入=0.5，但是實(shí)際中我們的電路不可能永遠(yuǎn)這么簡(jiǎn)單，當(dāng)電路更加復(fù)雜的時(shí)候，我們就需要引入另外一個(gè)概念，就是頻域。

首先我們來(lái)看一個(gè)圖上的所畫的簡(jiǎn)單的rc電路，對(duì)于這樣一個(gè)rc電容，我們?nèi)绾蝸?lái)計(jì)算輸入和輸出的關(guān)系呢？假設(shè)輸入是個(gè)直流信號(hào)，我們可以很簡(jiǎn)單知道輸出是個(gè)同等大小的直流信號(hào)，那么如果輸入不是直流信號(hào)，那么輸出會(huì)是一個(gè)什么樣的信號(hào)？

雖然基本上所有的工程師都知道，這樣一個(gè)rc電路，其實(shí)就是個(gè)低通濾波器，它會(huì)衰減高頻信號(hào)，那么到底對(duì)什么樣的信號(hào)會(huì)衰減，會(huì)衰減多少，我們需要一個(gè)可以量化計(jì)算的方法，這里就需要用到頻域的概念，在頻域里面信號(hào)都是以正弦波的形式存在的，而正弦波除了有幅度，他還有頻率和相位這幾個(gè)參數(shù)，電路里面的元器件阻抗也要以負(fù)阻抗的形式存在。比如在頻域里面，電阻r還是用r來(lái)表達(dá)，但是電感l(wèi)的阻抗是用 s*l來(lái)表達(dá)電容c的阻抗， s乘以1/c來(lái)表達(dá)，其中 s=ωj，ω是指的角頻率，那么這個(gè)角頻率和我們熟悉的頻率之間的關(guān)系是ω=2πf， j就是表示的復(fù)數(shù)。

這樣一來(lái)我們可以知道，除了電阻，電感和電容的阻抗會(huì)隨著頻率變化，電感的阻抗會(huì)隨著頻率的增大而增大，而電容則相反。得到了這些元器件的復(fù)阻抗表達(dá)式之后，我們就可以利用基爾霍夫定理在頻域里面計(jì)算出簡(jiǎn)單的rc電路的傳遞函數(shù)，那么我們得到這樣一個(gè)傳遞函數(shù) 輸出/輸入=1/（scr+1）。

其實(shí)這里的話就是一個(gè)以復(fù)數(shù)形式表達(dá)的傳遞函數(shù)，而對(duì)于復(fù)數(shù)來(lái)說(shuō)，它是可以求模，那么膜在實(shí)際意義里面其實(shí)就是信號(hào)的增益，也就是輸出信號(hào)的有效值和輸入信號(hào)之間的比值是放大了還是縮小了？放大倍數(shù)又是多少？可以用增益來(lái)表達(dá)。那么復(fù)數(shù)還可以求角度，也就是我們實(shí)際情況意義里面的像，也就是輸出的信號(hào)的相位減去輸入信號(hào)的相位得到的相位差?？偠灾?，復(fù)數(shù)形式表達(dá)了傳遞函數(shù)，既可以準(zhǔn)確反映信號(hào)幅度的變化，也可以反映信號(hào)相位的變化。

那么在這里要注意的是 s這個(gè)符號(hào)，剛才講過(guò)s=ωj那么其中包含了一個(gè)變量，ω就是角頻率，也就是說(shuō)當(dāng)信號(hào)的頻率變化的時(shí)候，s就是個(gè)變量，這個(gè)變量會(huì)導(dǎo)致傳遞函數(shù)的模和角度會(huì)隨著頻率的變化而變化。如果我們把幅值和頻率的關(guān)系圖描繪出來(lái)，就可以得到個(gè)增益曲線，把相位和頻率的關(guān)系圖描繪出來(lái)，可以得到一個(gè)相位曲線，那么這幾個(gè)曲線我們稱之為波特圖。

在這里我們留個(gè)思考題，假如說(shuō)我們有一個(gè)兩級(jí)rc濾波器，那么這個(gè)濾波器的傳遞函函數(shù)會(huì)是怎么樣的？大家可以去推導(dǎo)一下。

在剛才我們已經(jīng)求出了rc濾波器的傳遞函數(shù)，但是這樣的傳遞函數(shù)表達(dá)了什么樣的物理意義？如果單從公式來(lái)看很難理解，但是如果我們把這個(gè)函數(shù)求模，求出來(lái)的模再做對(duì)數(shù)運(yùn)算，再乘以20，也就是說(shuō)把它轉(zhuǎn)化成分貝，那么在以頻率為橫坐標(biāo)，分貝為縱坐標(biāo)就可以得到一個(gè)增益的波特圖，也就是左邊這個(gè)曲線。

那么我們看曲線可以得知增益會(huì)隨著頻率的增加逐漸降低，并且在f0這個(gè)頻率點(diǎn)降低了三個(gè)db，那么我們稱之為 f0頻率點(diǎn)為轉(zhuǎn)折頻率點(diǎn)。最后的話我們可以看到爭(zhēng)議會(huì)議20db10倍頻的斜率下降，對(duì)于這樣特性的函數(shù)，我們稱之為單極點(diǎn)特性，極點(diǎn)的位置就是轉(zhuǎn)折頻率點(diǎn)，就是我們剛才所說(shuō)的f0。

那么如何計(jì)算這個(gè)f0的值，我們可以先把傳遞函數(shù)寫成標(biāo)準(zhǔn)模式，就是我們圖上所示的G（s）=1/（1+s/ω0），那么其中ω0就是極點(diǎn)的位置。如果我們把剛才rt濾波器的傳遞函數(shù)也寫成這樣的標(biāo)準(zhǔn)模式，那么就可以寫成 Vout/Vin= 1÷（1+ s）÷1/rc，那么這里也可以得到ω0=1/rc，那么轉(zhuǎn)化成f0，就是f0=2π 1/rc，也就是說(shuō)其實(shí)rc濾波器表現(xiàn)出來(lái)就是單極點(diǎn)特性，而這個(gè)極點(diǎn)的位置在2π 1/rc。

對(duì)于增益圖，通常為了簡(jiǎn)化分析，理論上可以用漸進(jìn)性，也就是圖中的折線來(lái)代替，折線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)就是轉(zhuǎn)折頻率點(diǎn)，采用折線來(lái)近似，非常適合早期沒(méi)有計(jì)算機(jī)的時(shí)代，可以大大簡(jiǎn)化波特圖的分析和理解。但是現(xiàn)在計(jì)算機(jī)如此的發(fā)達(dá)，我還是建議大家利用計(jì)算機(jī)來(lái)匯出完整的增益曲線。

同時(shí)我們知道復(fù)數(shù)表達(dá)的函數(shù)，還有相位角度的問(wèn)題，那么右圖就是單極點(diǎn)傳遞函數(shù)的相位曲線。

我們可以看到在轉(zhuǎn)折頻率點(diǎn)相位之后正好45度，但是相位其實(shí)從遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于轉(zhuǎn)折頻率的地方就開(kāi)始滯后了，一直到無(wú)窮大頻率處，最后總共滯后90度。換個(gè)說(shuō)法，就是一個(gè)單極點(diǎn)會(huì)帶來(lái)90度的相位之后，那么如果為了簡(jiǎn)化分析，我們也可以做一個(gè)近似，通常就認(rèn)為在1/10轉(zhuǎn)折頻率點(diǎn)，相位就開(kāi)始滯后，到轉(zhuǎn)折頻率點(diǎn)，正好滯后45度，再到10倍的轉(zhuǎn)折頻率點(diǎn)，認(rèn)為它已經(jīng)滯后了90度。就這樣我們把具有單極點(diǎn)特性的傳遞函數(shù)的波特圖描繪了出來(lái)。

從增益曲線上我們可以看到，增益在頻率接近0的地方為0db，也就是一這意味著在低頻段輸出接近輸入，但是隨著頻率的增加，增益開(kāi)始下降，呈現(xiàn)出明顯小于一的特性，這就意味著信號(hào)被衰竭了，驗(yàn)證了低通濾波器的特性。那么從相位曲線也可以看到，在低頻段相位滯后很少，但隨著頻率的增加，最終會(huì)滯后90度。那么這個(gè)就是整個(gè)低通濾波器表現(xiàn)出來(lái)的特性，我們也可以稱之為單指點(diǎn)特性。

除了表現(xiàn)為單極點(diǎn)特性的傳遞函數(shù)之外，我們?cè)賮?lái)看一下其他類型的傳遞函數(shù)工。比方說(shuō)我們把這個(gè)單極點(diǎn)的傳遞函數(shù)做一個(gè)倒數(shù)運(yùn)算，就可以得到這樣一個(gè)表達(dá)式，就是G（s）=（1+s/ω0） 。如果我們把這個(gè)表達(dá)是求膜求相位，就可以把波特圖描繪出來(lái)。

可以看到如圖所示的兩個(gè)曲線。我們先看上面的增益曲線，從這個(gè)增益曲線可以看到增益從0db 開(kāi)始，然后到接近f 0的地方開(kāi)始上升，到f 0處上升了3個(gè)db，最后他會(huì)以20db每十倍頻的斜率上升。我們馬上就會(huì)意識(shí)到這個(gè)增益曲線其實(shí)和極點(diǎn)正好相反，那么我們稱之為零點(diǎn)，這個(gè)零點(diǎn)的位置就是f 0，如果以角頻率點(diǎn)表達(dá)，就是ω0。那么再看下面的相位曲線呢，可以近似的認(rèn)為從十分之一的轉(zhuǎn)折頻率開(kāi)始超前，在零點(diǎn)的位置超前45度，到10倍轉(zhuǎn)折頻率處超前90度。

所以說(shuō)零點(diǎn)的特性和極點(diǎn)是完全相反的。這就是我們?yōu)槭裁磿?huì)經(jīng)常聽(tīng)到說(shuō)用一個(gè)零點(diǎn)去補(bǔ)償一個(gè)極點(diǎn)的說(shuō)法。因?yàn)樗麄儍蓚€(gè)是對(duì)偶的是互補(bǔ)的，是可以互相抵消的。

除了極點(diǎn)和零點(diǎn)，那么我們?cè)賮?lái)看另外一個(gè)表達(dá)式，G（s）=1-s/ω0 。那么和剛才那個(gè)零點(diǎn)的表達(dá)是不同的是，0點(diǎn)是1+s/ω0，這里是-s/ω0。

這個(gè)表達(dá)式呢就是表示了一個(gè)右半平面0點(diǎn)。這個(gè)右半平面零點(diǎn)在波特圖中的表現(xiàn)形式為增益隨著頻率上升，但是相位卻是隨著頻率滯后。也就是說(shuō)它的增益曲線和零點(diǎn)相同，但是相位曲線卻和極點(diǎn)相同。

那么在什么樣的系統(tǒng)里會(huì)碰到右半平面零點(diǎn)呢，就在ccm 模式的boost ，或者Buck/Boost或者反激這些拓?fù)渲袝?huì)碰到這個(gè)右半平面0點(diǎn)。

那么右半平面零點(diǎn)在電源系統(tǒng)中具體表現(xiàn)是什么呢？比如在boost 中，如果負(fù)載突然變重，輸出電壓下跌環(huán)路會(huì)加大占空比。但這個(gè)時(shí)候整流管的的占空比一減力就會(huì)相應(yīng)變小。

但此時(shí)電感電流卻沒(méi)有立即升起來(lái)，會(huì)導(dǎo)致不適的整流管輸出平均電流反而減小，從而進(jìn)一步加劇輸出電壓下跌。這就是右半平面零點(diǎn)的物理特性。理論上來(lái)說(shuō)，右半平面0點(diǎn)可以用右半平面極點(diǎn)來(lái)補(bǔ)償。

但是事實(shí)上在我們的開(kāi)關(guān)電源系統(tǒng)中，我們沒(méi)有辦法在補(bǔ)償電路中構(gòu)建這樣一個(gè)右半平面極點(diǎn)。所以這個(gè)右半平面零點(diǎn)我們根本沒(méi)有辦法補(bǔ)償。這也就意味著具有右半平面零點(diǎn)的拓?fù)湓诃h(huán)路上具有嚴(yán)重的局限性。

在了解了一些基礎(chǔ)傳遞函數(shù)的增益特性和相位特性之后，我們來(lái)看一下，如果把這些基礎(chǔ)函數(shù)乘起來(lái)，就可以得到更加復(fù)雜的傳遞函數(shù)。

如圖所示，我們可以把一個(gè)極點(diǎn)和一個(gè)零點(diǎn)的傳遞函數(shù)相乘，可以得到這么一個(gè)表達(dá)式。

A（s）=A0*（1+s/ω1）÷（1+s/ω2），這個(gè)表達(dá)式里面包含了一個(gè)極點(diǎn)和一個(gè)零點(diǎn)，A0是直流增益，ω1為一個(gè)零點(diǎn)，ω2為一個(gè)極點(diǎn)。

如果ω1=ω2，我們可以得到這個(gè)函數(shù)會(huì)變成極其簡(jiǎn)單的比例函數(shù)，就是A（s）=A0。這種函數(shù)的增益曲線和相位曲線都會(huì)變成一條直線，也就是我們常說(shuō)的零極點(diǎn)互相補(bǔ)償，互相抵消。

那么如果ω1≠ω2，假如ω1<ω2，我們就可以得到如圖所示的波特圖。

首先看上面的增益曲線，我們可以發(fā)現(xiàn)隨著頻率的增加，我們先碰到一個(gè)零點(diǎn)，ω1或者f1過(guò)了零點(diǎn)之后，爭(zhēng)議以20db每10倍頻的斜率上升，等到了ω2或者f2這個(gè)頻率點(diǎn)，我們又碰到了一個(gè)極點(diǎn)，增益就不再上升，后面的增益曲線就變平了。

那么再看一下下面的相位曲線，相位在十分之一ω1處開(kāi)始超前，到10倍的ω1處超前了90度，在十分之一ω2處開(kāi)始滯后，最終在10倍ω2處滯后的90度，這樣一個(gè)超前一個(gè)滯后，他們互相抵消就可以得到高頻處的相位和低頻處的相位是相同的。也就是說(shuō)最后總共的相位超前或者滯后只有0度。

但是在這里我們要注意一下，這里有個(gè)前提假設(shè)，假設(shè)10倍的ω1要比十分之一的ω2還要小，如果10倍的ω1是要大于十分之一的ω2，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)中間拱起來(lái)的相位超前不會(huì)達(dá)到90度，因?yàn)樗€沒(méi)有達(dá)到90度，就會(huì)被ω2這個(gè)極點(diǎn)影響，從而轉(zhuǎn)向開(kāi)始下降。

所以大家可以想象一下，這種情況下，如果ω1和ω2開(kāi)始靠近，增益曲線和相位曲線又會(huì)怎么變化呢？那么再當(dāng)ω2小于ω1的時(shí)候又會(huì)怎么樣？大家可以去思考一下。

除了上述所講的單極點(diǎn)、單零點(diǎn)以及零極點(diǎn)的組合之外，在開(kāi)關(guān)電源系統(tǒng)里面，我們還會(huì)碰到更加復(fù)雜的傳遞函數(shù)，那就是復(fù)合雙極點(diǎn)。比如常見(jiàn)的lc濾波器的傳遞函數(shù)，就是一個(gè)典型的復(fù)合雙極點(diǎn)。復(fù)合雙極點(diǎn)和單純的兩個(gè)極點(diǎn)相乘不同，復(fù)合雙極點(diǎn)有時(shí)候是無(wú)法解析出三個(gè)節(jié)點(diǎn)來(lái)的，我們不能簡(jiǎn)單的把它認(rèn)為是兩個(gè)極點(diǎn)的組合，必須統(tǒng)一起來(lái)分析。

復(fù)合雙極點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式為：

其中ω0為轉(zhuǎn)折頻率，Q為品質(zhì)因素，簡(jiǎn)單的來(lái)講，雙極點(diǎn)的增益曲線表現(xiàn)為過(guò)了轉(zhuǎn)折頻率之后，以40db每10倍頻的斜率下降，這種斜率是單極點(diǎn)的兩倍。

但是復(fù)合雙極點(diǎn)還有一個(gè)特性，那就是Q值。當(dāng)Q值很大的時(shí)候，就是左圖最上面的曲線，表現(xiàn)為在轉(zhuǎn)折頻率點(diǎn)增益會(huì)變得很大。那么隨著Q值的降低，轉(zhuǎn)折頻率點(diǎn)的增益也逐漸降低，越往下面的曲線表現(xiàn)為Q值逐漸降低。 右邊是相位曲線，我們可以看到當(dāng)Q值大的時(shí)候，相位之后的非?？?，如同跳水一樣，在很窄的頻率范圍內(nèi)就可以實(shí)現(xiàn)180度的相位滯后，但是Q值低的時(shí)候緩和很多。

那么符合雙擊點(diǎn)到底能不能解析為兩個(gè)單極點(diǎn)的組合？其實(shí)當(dāng)Q小于等于0.5的時(shí)候，我們可以把復(fù)合雙極點(diǎn)解析為兩個(gè)單極點(diǎn)的組合。比方說(shuō)當(dāng)Q=0.5的時(shí)候，我們可以把復(fù)合雙極點(diǎn)解析為兩個(gè)單極點(diǎn)，這個(gè)時(shí)候兩個(gè)單極點(diǎn)在同一個(gè)位置，就是ω0。事實(shí)上這種復(fù)合雙極點(diǎn)在我們開(kāi)關(guān)電源系統(tǒng)里面是很常見(jiàn)的。

剛才我們講到復(fù)合雙極點(diǎn)是個(gè)比較復(fù)雜的表現(xiàn)形式，但是我們知道當(dāng)Q小于等于零0.5的時(shí)候，可以解析為兩個(gè)單極點(diǎn)組合。

剛才已經(jīng)講了，Q=0.5的時(shí)候，可以解救一對(duì)位置相同的極點(diǎn)。那么Q<0.5呢，在早期計(jì)算機(jī)不是很發(fā)達(dá)的時(shí)候，為了簡(jiǎn)化理解，我們通常會(huì)做一些近似，那就是當(dāng)Q明顯小于0.5的時(shí)候，可以把這對(duì)復(fù)合雙極點(diǎn)分解為兩個(gè)單極點(diǎn)，一個(gè)為Q乘以ω0，另外一個(gè)有1/Q乘以ω0，這樣就很容易理解和計(jì)算。

當(dāng)然實(shí)際上現(xiàn)在隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，我們已經(jīng)很少在應(yīng)用的時(shí)候采用手動(dòng)記賬，而是采用計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行計(jì)算，比如Mathcad的excel等工具就可以。所以這種近似的方法已經(jīng)不是那么重要了。但是對(duì)于學(xué)習(xí)的人來(lái)講，還是有一定的意義。